\(\mathrm {Exercise \ \oplus \ Problem } \ 19 \ \)
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\( \qquad \)你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析) \(\qquad \ \)——————Alina Lagrange
计算\[ \zeta(2n)=\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^{2n}}, \ \ \ n\in\mathbb N _+ . \]
\(\mathcal{S} olution. \)
考虑 Euler 展开, 取对数 $$ \ln |\sin x|=\ln |x|+\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left|1-\frac{x^2}{n^2 \pi^2}\right| $$ 同时求导 $$ \cot x=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{x^2-n^2 \pi^2} $$ 逆用等比级数有 $$x \cot x=1-2 \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x^2}{m^2 \pi^2}\right)^n$$ 换序有(验证满足条件) $$x \cot x=1-2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\zeta(2 n)}{\pi^{2 n}} x^{2 n}, \ -\pi < x<\pi$$ 考虑展开式唯一性, 对比 $$ x\cot x=1-\sum_{n=1}^{\infty }{}\frac{B_n2^{2n}}{(2n) ! }x^{2n} $$ 所以 $$ \zeta(2n)=\frac{B_n(2\pi)^{2n}}{2 \cdot (2n) ! } \ \ n\in\mathbb N _+ . $$这里 \( B_n \) 是伯努利数.